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数理方法基础:变量逻辑
作者:张建平    发布:2007-11-11    阅读:2402次   
  人们对事物的认识和描述分为两个方面:事实描述(认知)和价值描述(认知)。
  价值判断即确定事物对人的有用性。有用与否是针对具体使用者而言的,因此有用性因人而异,具有主观性,此文暂且将价值认识问题放在一边。
  就对事实的具体描述方法来说又分为两种:第一,事物是什么样子;第二,事物如何演变。样子,即存在状态;演变,即发展变化运动过程。描述事物存在状态的符号或变量对应于事物的状态,因此被称为“状态函数”、“态函数”或“状态量”;而描述事物发展变化的符号或变量对应于一个时间过程,故而谓之“过程函数”或“过程量”。
  状态,是事物的“模样”,即在某个时点上“样子”,因此,描述事物状态的变量又被称为“时点数”。而“过程”涉及到一个有始有终的过程的时间段长度问题,所以,描述事件过程的变量又被称为“时段数”。形象地说,状态是一张照片,而过程是一段录像。
  时点数用来描述事物在某个时间点上的存在状态,因此又被称为“存量”,stock。时段数是描述事物的发展的,涉及到时间的流动性问题,因此又被称为“流量”,flow。存量之“存”,是“存在状态”之“存”;流量之“流”是“时间流动过程”之“流”。英文stock具有库存、藏品之意,库存数当然是存量,但不可望文生义推而广之。反过来,把存量当作“可以保存下来的量”理解,这样就太过狭义并偏离本质了。例如,“年储蓄量”就是“可以保存的量”,但却是一个标准的流量,而不是存量。有人将表述流体质量流速或体积流速的“流量”之“流”解释“流量”性质之“流”,都是对流量概念的误解。
 
  显然,状态函数的取值对应于时间点,即任意一个时间点上都可以观测取值;而过程函数对应于一个事件过程,一个时间段内的过程完结了,才可以测到一个“时段数”数值。
  由于人们观测外界事物,看到的总是事物在某时某刻的“状态”、“模样”,因此,直接观测到的变量大都是“存量”(时点数、状态函数),比如国际基本单位制当中规定的七个基本变量如尺度(米)、时间(秒)、质量(kg)、物量(摩尔)、温度(K)、光照强度(勒克斯)和电流(安培)全部都是状态函数即存量。这不过就是说,存量是可以随机观测的,而流量作为存量的积累,只能通过不断的观测数据加以推算才能在过程终结后得到。比如,要得到“月采购量”这种流量数据,就只能把某月份的每一笔采购数量(存量)加和起来。变量的这种观测特征可以总结为:存量是可以直接观测的,而流量要依靠间接计算得到。
 
  我们注意到,“存量”、“流量”、“时点数”或者“时段数”这些说法并不十分严格,有时很容易误导研究的思路。实际上旧有的观念已经受此严重误导。
  人们观测事物的状态,有局部和整体之分。例如我们看到一支红杏探出墙头,我们可以根据墙的高度(参照系)来判断花木的高度,但是所知只是高度而已。如果是站在墙内观察它或者是一堵篱笆墙,依然可以墙为参照物认知花木的高度,但是所知信息更加丰富,不仅仅知道花木高度,而且知道树干树形。也就是说,后一种状态是“整体”的,而前一种状态是“局部”的。前一种只是告诉我们它的高度状态,后一种状态还告诉我们这个状态的历史,是怎么来的。
  因此,状态函数实际上有两类,纯粹表示当前时点上状态的,和同时表述此状态历史的。纯粹表示当前时点上状态的状态函数,谓之“点存量”,而同时表达此状态形成历史的,谓之“流存量”。《西方经济学的终结》用一个形象的词汇“水表数”来表示“流存量”。这就是“流存量”概念的由头。
  在数学描述上,“点存量”是一个点,是数轴上的一个点,是一个“数”;而“流存量”是一个以当前状态点为头部的一个线段,也就是数学上所说的“变上限定积分”或“积分上限的函数”概念。因为“上限”是一个可变的状态量(如时间变量,或其函数),因此作为“积分上限的函数”也就是一个状态量。
  之所以点存量和流存量都归于“存量”,是因为它们都对应于“拍照”的那个瞬间时点,差异在于一个是“面部特写”,一个是“全身照”,但是都不是涉及时间流动的“录像”。
 
  我们常用“变化”、“运动”、“过程”等术语描述事物运动,其实三种词语是三位一体的同义词。如果我们观测不到“变化”就无法确定运动的存在,也不能称其为“运动”,而任何运动和变化都必须假以“时间过程”来实现。“量变”就是指某一状态量在一个过程始末两点的状态改变,因此,“变量”若是态函数,对应于一个时点,则态函数的“量变”对应于由两个点(始末)确定的过程,是过程量。使用“过程”一词既可以单单意味着变化,也可以意味着描述路径,总之是针对一个完整的过程。
  所以,如同状态函数分为两种一样,过程函数同样分为两种:一种单纯描述“变化”的,它只与过程的起始点的状态有关,考察的是状态的变化量即同一存量在起始两点上状态量的差值;另一种不仅仅描述变化,而且描述变化的中间过程,即不仅仅与起始点状态有关,还与路径有关。第一种谓之“点流量”,第二种谓之“积流量”。
  同样,过程函数的两种类型在数学上的描述表现为:“点流量”简洁地表示为存量在起始点上的差额,如⊿S=S2-S1。而“积流量”表示为一个定积分,如∫f(t)dt从过程开始点a点积到终点b点,实际上也就是“流存量”的上限b被指定为终点(非变量化)后的结果。量变“⊿”已经涉及到从1到2两个状态点之间的变化问题,即涉及到由始末两点确定的一个运动过程,所以是过程函数而不是状态函数。
  在微积分条件假定成立的基础上,在数学上“点流量”和“积流量”是统一的,即:
  ⊿S=S2-S1=∫12(dS/dt)dt,其中dS/dt为S流随时间t变化的速度函数。
  “点存量”和“点流量”类比于“流存量”和“积流量”,前者都是后者的部分内容,后者包含着更加丰富的认知信息。“点存量”考察的是一个点的状态,“点流量”考察的是两个点的变化,“流存量”是考察两个指定点中间的任意状态,而“积流量”考察的是两点中间的完整过程的问题。
 
  物理学界并没有认识到状态函数和过程函数的这种细分,以往学界对流量、存量的认识只是简单地局限于“点存量”和“积流量”。既没有人指出“流存量”的存在(往往是因为它涉及到状态点的历史过程而错误地将之当作流量),也没有人指出“点流量”属于流量的一种(往往是采取避而不谈其性质的态度)。
  【特别规定】一个流量在两个时段内的取值大小对比结果还是一个流量。此即:过程量F在过程1和过程2当中的取值分别是F1和F2,则变量F的量变为⊿F=F2-F1是一个流量,此流量因为涉及到两个过程,所以称其为“二级过程量”(二级流量)。“二级流量”考察的是“变化之变化”。
  【变量逻辑规则1:同性质的不同变量运算的结果性质不变。】
  特别提醒几点:
  第一,时间变量t本身是态函数,而且是“状态原函数”,因为状态就是针对时点而言的。
  第二,时间段长度或说时间的增量⊿t(=t2-t1)是过程量,是“过程原函数”。正是因为t的存量本质和⊿t的流量本质,决定了与之对应的变量的性质;
  第三,对一个变量的纯粹运算,如改变正负号、求微(d)、求对数(log、ln)、求倒数、改变计数方式(如%、科学记数法)等等,都不改变变量的性质。因此,如果某变量A是一个态函数,则-A、dA、1/A、logA、-lnA等等也依然是态函数。
  对存量、流量的细分是认识论上的一大飞跃,完全理顺了有关流量存量的变量逻辑。
 
  微积分理论体系的建立使得我们可以在自然科学研究当中用数学来考察事物的两个方面,不仅仅可以表述其存在状态S,还可以表明其运动变化的过程⊿S。
  任何事物运动(变化),都可以从运动学角度考虑运动(变化)速度的问题,也就是可以建立一个变量随时间而改变的速度概念。定义某存量S对时间的变化速度为Vs=V(t)=dS/dt,为一瞬时速度概念。由于瞬时速度对应于时点,是一个存量概念,因此我们可以做出一个“速度—时间”曲线。如下图-1:
  http://s11.album.sina.com.cn/pic_3/5562bb43020014wm
  图中,变量的变化对应于一个定积分过程——速度函数在时间段上的定积分。所以说,若变量是状态函数,而量变(变量的增量)是过程函数。这就是量变是过程函数的数学理论基础,即一个定积分表示为原函数在过程始末点上的差值,∫abf(x)dx=F(b)-F(a)。决不可把“变量”(运动流主体)和“量变”(流运动结果)混为一谈。阴影部分面积表示变量S在指定的第n+1时段内的变化量,是变化速度曲线Vs=V(t)在时段tn→tn+1上的积分。
  这就是说,过程可以看作是状态的积累,由于时间的流动连续性,所以,一个“过程”中包含着无数的“状态”点,如图-1中曲线Vs=V(t)上从t=tn到t=tn+1之间有无穷多个(Vst,t)点。一个流量(过程函数、时段数)可以看作是存量运动速度在时间上的累积,即在tn→tn+1过程中有无穷多个点(Vst,t),但只能积分得到一个面积值⊿Sn+1。⊿Sn+1对应于从tn→tn+1这个事件过程,所以是个过程函数。
  这就是说,由于任何状态函数都是事物在某时点t上的状态描述,即状态函数是时间t的函数,所以,“过程”和“状态”不是逐一对应的关系,而是一对无穷多的关系。换句话说,一个流量和一个存量之间无法构建一一对应的二元函数关系(方程)。
 
【变量逻辑规则2】构建二维坐标系的两个变量必须是相同性质的变量。
 
  请注意,不存在“某流量的瞬时变化速度”这种概念。因为流量对应于时段序数,而不是对应于时间,不存在“瞬时”问题。即在⊿Sn+1当中,n是时序,而非时间,其取值是1、2、3、4……等序数,序数不连续,可以构建一个流量和时段序数之间一一对应的数据表,但不可以将流量对其序数求导。
 
  数学理论本身根本上不支持在流量和存量之间构建函数关系。这可以从多个数学概念来理解。先说“函数”的概念。
  【函数】设D是一个给定的非空数集,在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于数集D中的每一个数x,变量y按照某种规则f总有确定的数值与之对应,则称变量y是变量x的函数。数集D成为这个函数的定义域,x称为自变量,y称为因变量。
  据此函数概念,x和y必须同是“某一过程中”的变量,而如果y是一个流量,则它相当于存量x来说,就不是这个过程中的变量,因为流量对于某一指定的过程来说只有一个取值,它是对应于一个过程的定积分,是一个数,而非对于“每一个数x”取值的;也就是说,不存在规则f可以使得存量x与y逐一对应。
  所以,函数之定义已经表明了一种变量逻辑:不可以在某存量x和某流量y之间构建函数关系y=f(x),或者说,y=f(x)的成立意味着y和x变量性质的一致性。
  关于在流量和存量之间无法构建二元函数关系这一逻辑,还可以推广到多元函数上面。为此,我们可以借用数学上的“隐函数”概念加深理解。众所周知,如果z是y的函数,z=z(y),而y又是x的函数,y=y(x),则z一定可以表述为x的函数。所以,如果在某个流量F(过程函数、时段数)和某个存量S(状态函数、时点数)之间建立起了函数关系,则意味着F是S的函数,即过程函数是状态函数的函数,这就同F是过程函数的定义相违背了,因为状态函数的函数一定是状态函数。进而普遍地,如果x是状态量,则y=y(x)同z=z(y)的成立意味着y和z必然都是状态量。因此,从变量逻辑上是不能建立流量和存量函数关系的。如果否认这个逻辑,就必然会陷入认知混乱。
  关于这一点,热力学曾经有着明确的、但却不为一般人所注意的提示:状态函数变量之间运算的结果也是状态函数。例如焓H是几个状态函数的组合(H=E+PV),因为内能E、压力P、体积V都是状态函数,所以H也是状态函数。H之所以是状态函数的这种理由可以在任何一本引入焓概念的热力学书籍中看到。焓被确定为态函数的理由,是热力学当中少有的、正确运用变量逻辑的例子。
  需要特别注意的是,“不同状态函数之间运算的结果是状态函数”,这一原则只是针对“不同的状态函数”的运算而言的,而不是针对同一状态函数的。这些不同的状态函数是在同一个时点上取值的,即这个“运算结果”考察的是同一时点上不同状态量之间的关系,而不是考察同一状态量在不同时点的变化。如前段所述,“量变”⊿是同一个状态函数在不同时点上的取值之间的差值(变化程度),考察的就是一个过程而非一个状态点,故而⊿不是态函数。例如状态函数S,其量变⊿S=S2-S1就应该是一个过程函数,这个“减法”是指自身变化,而不是不同状态函数之间的运算。S1和S2是变量S在不同时点上的取值,而非两个变量在同一时点上的取值。
 
  在微观经济学当中,需求定律就是构建了一个过程函数与状态函数之间的虚拟关系QT=Q(Pt)(T代表流量对应的时段序数,t代表存量对应的时点),按照变量逻辑,作为状态函数(Pt)的函数,QT也应该是一个状态函数才对,这就同经济学人坚持说需求量就是过程函数(流量、时段数)矛盾了。经济学应对这个内部逻辑矛盾的办法是采用了一个瞒天过海的方法,即不提价格变量的性质,或者用一个事后的平均价格混淆价格概念,然后再当作事前变量(自变量)使用;现在则有人试图用否定价格(即每次具体交易对应的交换比例)的存量性质的方法来维持这种传统错误。
  如果把价格严格地理解为平均价格,当然理顺了变量逻辑,即Q=Q(P)意味着考察两个流量之间的关系。但仅仅是理顺了变量逻辑而已,从平均价格的定义式我们知道,它作为事后变量不可能对事前的交易起到“自变量”的作用——没有人会根据一个平均价格来决定自己的需求判断——因为决定平均价格数据只有等指定过程的所有交易完成后才得到。
  现实中国家统计部门计算CPI之类价格数据的时候,并非用理论上的“总销售额/总销售量” 计算平均价格,(阅读链接 http://finance.sina.com.cn/g/20070826/07363917049.shtml)而是采用瞬时踩点的办法获取瞬时价格数据,然后按照一点的规则运算。所得的CPI数据和经济学理论上的价格概念相去甚远。
  再例如香港股市的收盘价,是从最后一分钟开始每隔15秒纪录一次成交价格,把0、15、30、45、60秒上的5个价格按照大小顺序排列,取中间一个数作为当日某只股票的收盘价。显然,这既不是真正的收盘时的价格,也不是最后一分钟内的平均价,而是一个标准的时点数概念。
  一个状态函数(时点数、存量)就是时间变量t的函数,在任意两个前后时点上的取值,都可以拿来对比大小,以判断事物的状态是否发生了变化。例如,我们可以用下午6点的气温和中午12点的气温做一个比较,以判断温度的升降变化。而对于某一个过程函数(时段数、流量)来说,通常只有对应于等时长的两个数据才能够比较大小,以判断两个不同过程的变化,而不等长时段内的流量变化不具有对比意义。比如,我们不会用上个月的用水量和去年的用水量作对比,然后下结论说用水量增减了多少,因为这种对比不具有意义,而只有将之同去年某个月(都是一个月时长)的数据的对比才有意义。
  这种变化对比的方法差异告诉我们,第一,流量一定是对应于一个完整的时间过程的。这在数学上意味着一个上下限确定的“定积分”;第二,对于流量来说,时间轴是被等分的,时段长度不是任意取值的,每一等分是被顺序编号的。按照《西方经济学的终结》的说法就是,流量是双时间变量的函数。
 
  关于函数的变量性质一致性这个逻辑,还可以从函数的连续性来理解。
  【连续性】所谓函数在某点的连续性,就是当自变量趋于该点时,函数值的极限和函数在该点所取的值相等。这也就是说,函数具有和自变量一一对应的性质,而自变量如果是存量,意味着在某时点上取值,而过程变量是不可以在一个时点上取值的,所以,不存在一个过程函数以一个状态函数为自变量的情况,当然也就无所谓过程函数对状态函数自变量的连续性问题,进而也就不存在所谓的微分运算问题了。
  说到连续性,我们再来回顾数学上对“增量”的描述。【增量】设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x时,函数值从f(x0)改变到f(x),则称x-x0为自变量的增量,记为⊿x=x-x0;称f(x)-f(x0)为函数的增量,记为⊿y=f(x)-f(x0)。由于x=x0+⊿x,所以,⊿y=f(x0+⊿x)-f(x0)。
  从上可以清晰看出,如果x是一个状态量(存量、时点数),则意味着有一个时点数f(x0)与x0对应,或者说,当⊿x趋于0时,⊿y=0,即表现为连续性,所以f(x)必然是对应于每一个状态点的量,即状态函数。因此,不存在和状态量相对应的过程量。换句话说,不存在过程量y和状态量x构成的函数y=f(x),也就是说在y=f(x)当中,y和x必然是同性质的。
  毫无疑问,这个逻辑可以扩展到多变量函数z=z(y、x、w、v……)当中。
 
  基于我们对状态量和过程量的以上认识,我们应该知道,任何状态量(存量)都是附带时间点条件的,而过程量是附带时间段序号的。因此,状态量不是和过程相对应的,故不存在“某时段过程中的状态量”这种表述,诸如“水库去年的水位”、“昨天的股票价格”、“今天的血压”、“去年的人口”等等都是错误的表述,其科学的表述方式是“水库去年某时的水位”、“某股票昨天收盘的价格”、“今天早上八点测得的血压”、“去年标准时点的人口”等等。
  如此大家就会理解,单纯从变量逻辑来看,由于成交比例(价格)是存量,而需求量是流量,所以,不存在和需求量所在的时段对应的价格概念——换句话说,微观经济学中所谓的需求曲线和供给曲线是不存在的。
 
  一个定积分等于原函数在上下限两点上的变化,流量对应于一个完整的积分过程,意味着流量可以看作是一个存量的增量,即在积分起点和终点的一个差值(变化量)。
  例如我们把⊿E展开为E2-E1,即⊿E=E2-E1,就可以看出,一个过程函数(⊿E)是一个状态函数E在一个过程起始点上的差值(变化量),它描述和对应的是从E1到E2这个完整过程。不能够简化地说“两个存量之差就是流量”,准确的说法是“‘点存量’在一过程起始点上的差是‘点流量’”。而存量在任意时点的取值(存量本身)和起点值(视为常数)的差因为对应于任意时点t,故是一个“流存量”。
 
  《西方经济学的终结》指出“流存量(水表数)”是存量,就是因为,第一,它是随时在某个时点上被观测的,是过程中的一个点,描述的是这个点的状态,和时点逐一对应;第二,因为第一,它的取值不是对应于一个完整的时段上的始末点。这也告诉大家,不要一看到涉及到时间长度的变量就想当然地看作是流量。如果这样看问题,就不存在所谓“状态函数”了,因为任何时点t都可以看作是从时间原点开始的一个时长⊿t=t-0,或者更普遍地说,数轴上任何一点的数值都等于从零点开始计量的数轴长度。区别状态函数和过程函数的惟一判据,就是看这个变量是不是可以在一个时点上被测度,或者形象地说是不是可以被“拍照”。
  这种统计测量方法上的差异非常重要,可以清楚区分何时“购买量”(对应于某次购买行为或截至当前的累计)意味着一个存量,而什么情况下说“购买量”的时候(对应于某个指定的时段)意味着一个流量。
 
  财务管理中对流的管理的一个重要的内容就是进销存管理,其依据的原则就是“进-销=存”。实际上,对于实物流而言(货币流也是一种实物流),“储蓄=收入-支出”不过就是物质不灭定律的翻版,化工物料核算中的核算方程“总进料量-总出料量=累积量”即是如此。而热力学第一定律⊿E=Q-(-W)不过是针对能量流对一个能流的“域”进行的“进销存”核算——对外做功是能量的支出,而储蓄表现为内能的变化。实际上就是“储蓄=收入-支出”及“储蓄变化速度=收入速度-支出速度”等等的翻版。在http://ecoblogger.bokee.com/2081962.html“Fluid theory and Macroeconomics”一文中的“定律1”不过是把这种核算通过引入“流速”的概念以及内生和湮灭的概念扩展到价值流,从而建立了比“进-销=存”规则更加一般的流(fluid)核算方法。
 
  在现实经济事件当中,一种貌似流量实为存量的成交量数据可以和瞬息万变的价格构成对应关系,例如股市上可以做出一条“累积成交量”和“当前价格”的关系曲线,但是,这里的“成交量”是一个“流存量”,而非等同于需求量的流量,因为它表达的是从开盘到当前的累计成交量,任何时点上都可以给出一个累计数,就像水表上从安装到当前的读数一样,并不是一个流量(用数学语言讲,不是一个定积分)。真正作为流量的“成交量”应该叫做“某期成交量”(是流速在指定时段上的定积分)。
  许多人对与“流存量”(水表数)概念的提出感到茫然,不知道这个概念的意义何在。流量作为一个流动主体的流速在一个宏观时段上的累积量,也就是状态函数(运动速度)运动的积累。而“流存量”(水表数)就是存量处于这个运动过程中间的一个状态描述,是存量运动形成流量的一个中间状态,因此它是一个状态函数,是连接存量和流量的一个中间环节。“水表数”同“流量”的数学差异就是不定积分和定积分的差异——前者是时间的函数,后者是时间和其所在时段的函数。
  可以简单说明这个问题的例子是,打开水龙头向容器中放水,水表记录的放水量是随时而变的,它总是对应于容器中的水位或水量,因为容器当中的水位(量)是一个状态函数,因此与之一一对应的水表数也必然是状态函数(存量)。水表读数和容器中的水位描述的是同一个物理事实,不可能一个作为存量而另一个是流量。
  用微积分的语言来叙述,变化运动的是事物的某个存量性质(速度),而流量是运动积分的结果,而不是变化运动的本身。这就是说,流量(过程函数)一定要对应于完整的时段,也就是一个定积分,而不是对应于指定时段的中间某时点。用在经济学的例子就是,消费量之累计在整个指定时段上的和才是一个流量(需求量),而“从某时到现在累积消费了多少”不是流量而是存量,只有累积到了指定时段的终点,才演变成为流量。
  在图-1当中,水表数意味着时点t(虚线)之前的阴影面积,总是和t或者速度V逐一对应的;而流量对应于某个完整的时段,如tn→tn+1,是图中的整个阴影面积。
  “水表数是一个存量”,在数学上意味着一个“变上限定积分(积分上限的函数)”。
【积分上限的函数(变上限定积分)】设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且x∈[a,b],因此,f(x)在[a,x]上连续,当x在[a,b]上任取一值时,定积分∫f(x)dx(从a积到x)存在且有惟一的值与之对应,故该积分在区间[a,b]上确定了一个函数,称为积分上限的函数或者“变上限积分”,记为Ф(x),即Ф(x)=∫f(x)dx(从a积到x)。
  如果积分上限x是一个状态函数(存量),则作为状态函数(存量)的函数,Ф(x)必为一状态函数(存量)。如果上限x=b为一确定的数,则定积分Ф(x)变为一个数值,由“水表数”演变为一个对应于区间[a,b]的“流量”。流存量和积流量的差别就是前者是变上限的定积分而后者是固定上限的定积分。
  至此大家看到,流量总是表现为一个存量在两个状态点上的(量变)差值:点流量是点存量的量变,积流量是流存量的量变。
  
  下面的例子有助于进一步理解“水表数”为何是一个存量而不是一个流量。
  教授让两个学术去测量某处山泉流出的水的体积量,并思考这个出水量是流量还是存量。学生甲采取的办法是在泉口安装一个带有水表的管路,让泉水流经水表,自己只需要去记录“水表数”;学生乙的办法则是把泉水引入一个水池中,自己只需要去量一下水池的深度换算为体积即可。
  (同样的例子我们还可以演绎为两个员工测度“产量”:一个观测生产线安装的计数器,一个则坐在仓库查库存。)
  甲说他记录的数据应该看作是一个流量(过程函数),因为是从山泉(水管)中不断流出来的,而且水表的读数也对应于一个累积过程嘛。乙则说他记录的数据应该是一个存量(状态函数),因为它表现为水池的容积数,反应的是池中存水的一种状态,所以应该是存量。
  然而实际上,甲乙两位同学测量的是同一个物理事实,每个数据都表述一个事物状态点。所以,水表数和水池中的水量必然是同性质的变量,都是态函数。
 
  流量不可直接测度只能间接计算,而“存量”还是“流量”的惟一判决就是看对应于时点还是对应于时段,既然可以在某时点上观测,必然对应于事物在某时点上的状态,则就是一个状态函数即存量。而对应于指定时段的结果,才是一个流量。如果教授要学生做一个水表数和池水深度的对照表,两个学生可以手到擒来,只需要把任意时点上的水表读数和池水深度一一对照即可;但是,如果教授要学生做一个日出水量和水池深度的对照表就无从下手了,因为日出水量每天才有一个,而水表数或池水深度有无穷多个数据,只要你愿意去测就有。
  形象地说,当我们按下快门的时候,只能拍到事物在一个时点上的照片,而不可能拍到事物在1和2两个点上的模样。所以⊿S=S2-S1只能是一段录像(过程量),而不是一张照片(状态量)。
  以上所举的例子都是连续的“流”,对于离散的“流”来说,积分变为加和就可以了。所以,之前有帖提到,每一次购买的量都是发生在交换时点上的存量,从时间起点到当前的累积购买量就是一个“流存量”(水表数、存量),而把指定阶段内的所有购买量加起来,其和就变成了对应于这个阶段的一个过程量(流量)了。
 
  现在谈谈一个极易让人迷惑的变量“增长率”或“变化率”。
  如果某变量在某一基点取值Ao,并在此基础上有一个变化⊿A后到达A1点,则我们通常把⊿A/Ao成为A以Ao点为基点的“变化率”,即
  η≡⊿A/Ao=(A1-Ao)/Ao=A1/Ao-1
  η为正时表示“增长”,η为负时表示“衰减”。
  现在的问题是:变化率η算是什么性质的变量——流量还是存量?
  这种疑问来源于η的定义式η≡⊿A/Ao。在恒等号的右边,分子是一个量变,按照前面的变量逻辑,它应该是一个流量;但是,分母是一个变量在某点的取值。这不就构成了一个流量和一个存量的比例关系了吗?
  【特别规定】变化率η是一个过程函数(流量)。
  这个规定的理由是:在式子η≡⊿A/Ao当中,分母Ao应看作是一个常数,是比较的基准。η就是描述一个过程的变化运动幅度大小的参数,所描述的是一个事件过程,因此是一个过程函数。
变化率概念不仅仅对存量适用,对流量也同样适用。前者例如“孩子现在比一年前长高了10%”,这句话表示孩子现在的身高L和一年前的身高Lo之间具有关系L/Lo-1=0.12。后者例如“这个月的降雨量比上个月少了一半(是上个月的50%)”,这句话意味着这个月的降雨量R1和上个月的降雨量Ro之间具有关系(R1-Ro)/Ro=-0.5。
  当变化率概念用于考察流量的变化幅度的时候,“流量的变化”是一个“二级流量”概念。
 
  关于“常数”的问题参阅链接:http://www.jjxj.com.cn/news_detail.jsp?keyno=12806
 
  变量逻辑要点总结:
1.  变量x和变量y同性质,方能构成函数关系y=y(x);即过程量的函数是过程量,状态量的函数是状态量;
2.  相同性质的变量进行四则运算后形成的组合变量性质保持不变;
3.  不同性质之变量之间不能够进行四则运算;
4.  时间是元状态函数;时差是元过程函数;
5.  存量A的增量⊿A=A2-A1是过程量。如果A是过程量,则⊿A称为“二级过程量”。
6.  由于过程量不能和状态量构成函数关系,因此过程量不可以对状态量求微和求导;
7.  一个变量改变其正负号、求微分、求倒数、求对数都不改变变量的性质;
8.  同性质但是不同量纲的变量不可以加减,同一变量不同数量级之间不可以加减;
9.  常数的性质也有状态量和过程量之分;
10.有中性的常数量参与运算时,不改变运算结果的变量性质。
 
  变量逻辑的另一个重要方面是“量纲平衡”问题,也就是方程式两边的量纲必须是相等一致的,kg=kg,平方米=平方米,不能出现“kg=M2”这种等式。这个问题一般理工科学生都会在教材中讲到并注意到,也就不再赘述了。